Pagina documente » Informatica, Matematica » Suprafete Bezier si B Spline rationale

Cuprins

lucrare-licenta-suprafete-bezier-si-b-spline-rationale
Aceasta lucrare poate fi descarcata doar daca ai statut PREMIUM si are scop consultativ. Pentru a descarca aceasta lucrare trebuie sa fii utilizator inregistrat.
lucrare-licenta-suprafete-bezier-si-b-spline-rationale


Extras din document

Cuprins
Prefata.......2
Capitolul 1. Preliminarii de analiza, algebra liniara si geometrie..4
I.1. Homeomorfisme ..............4
I.2. Functii derivabile de o variabila reala.....4
I.3. Diferentiala unei functii.......6
I.4. Derivate si diferentiale de ordin superior.7
I.5. Teoria diferentiabilitatii in spatiul ....9
I.5.1.Functii diferentiabile......9
I.5.2. Derivata dupa un versor10
I.5.3. Matricea jacobiana......12
I.5.4. Diferentierea functiilor compuse.....13
I.6. Integrala de suprafata........14
I.7. Spatii vectoriale..............15
I.7.1. Spatii si subspatii vectoriale..........15
I.7.2. Sisteme de vectori liniari independenti (dependenti)............15
I.7.3. Baze intr-un spatiu vectorial nenul...16
I.7.4. Dimensiunea unui spatiu vectorial. Rangul unui sistem de vectori...........16
I.7.5. Forme patratice..........17
I.8. Spatii vectoriale euclidiene.18
I.9. Elemente de algebra liniara a vectorilor liberi in spatiul euclidian
3-dimensional......19
I.9.1. Vectori liberi.............19
I.9.2. Produsul vectorial a doi vetori liberi. Dublul produs vectorial
si produsul mixt a trei vectori liberi.........20
I.10. Repere.........22
I.11. Dreapta in spatiu............22
I.12. Planul.........24
I.13. Curbe regulate in plan si spatiu.........25
I.13.1. Definitia curbelor regulate in plan si spatiu......25
I.13.2. Tangenta si planul osculator la o curba regulata in spatiu.....26
I.13.3. Curbura unei curbe intr-un punct al ei............27
I.13.4. Formulele lui Frinet...28
Capitolul II. Elemente de teorie a suprafetelor in spatiu......29
II.1. Definitia suprafetelor regulate in spatiu...29
II.2. Exemple de suprafete regulate in spatiu........31
II.3. Planul tangent la o suprafata regulata in spatiu..............34
II.4. Forma intiia fundamentala a unei suprafete regulate in spatiu........35
II.5. Orientabilitatea suprafetelor...36
II.6. Aplicatia Wiengarten, forma a doua fundamentala......37
II.6.1. Aplicatia Wiengarten.......37
II.6.2. Forma a doua fundamentala a unei suprafete..........38
II.7. Curburi ale unei curbe situata pe o suprafata39
II.8. Citeva suprafete cu Mathematica.......46
II.9. Suprafete tri-dimensionale50
Capitolul III. Suprafete Bizier si B-spline.............53
III.1 Interpolarea cu ajutorul polinoamelor.........53
III.1.1 Polinoamele Lagrange...........54
III.1.2 Polinoamele Hermite.............55
III.2 Placi curbe Coons.......56
III.3 Suprafete Ferguson....59
III.4 Suprafete Bizier........61
III.5 Suprafete B-spline..........66
Capitolul IV. Suprafete Bizier si B-spline rationale.........74
IV1. Suprafete Bizier rationale.74
IV.2. Pinze de cilindru, con si sfera, ca pinze Bizier rationale.........77
IV.3. Suprafete de rotatie in forma Bizier rationala.......80
IV.4. Suprafete B-spline rationale............81
IV.5. Suprafete de rotatie in forma B-spline rationala.....82
Bibliografie83
2

Alte date

?

Prefata

Problematica de cercetare si programare in domeniul geometriei computationale se refera la studiul unor chestiuni legate de intersectie (dreapta cu dreapta, dreapta cu poligon, poligon cu poligon etc.), descompunere, triangularea poligoanelor, partitionare, cautarea geometri1ca (locatie: punct fata de punct, punct fata de poligon, punct fata de o configuratie plana mai generala etc.), optimizarea geometrica, programarea liniara, topologia combinatorie, geometria algebrica etc. Problemele legate de proiectarea algoritmica a curbelor si suprafetelor sunt utile in grafica pe calculator si in proiectarea asistata de calculator.

Într-o prezentare succinta a istoricului dezvoltarii geometriei computationale, putem spune ca principalii algoritmi s-au bazat pe unele rezultate din analiza numerica si au fost conceputi in atelierele de creatie ale unor firme cunoscute: Boeing, Renault, Citroen etc., fiind folositi in automatizarea unor operatii de proiectare pentru diverse componente ale unor masini si mecanisme produse de aceste firme. În faza initiala (adica prin anii 1960-1970), rezultatele erau redactate ca niste rapoarte de cercetare interne si erau considerate secret de serviciu. Publicarea acestor rapoarte s-a facut atunci cand si firmele concurente au ajuns la rezultate de acelasi tip si pastrarea acestora ca secrete nu mai avea sens.

În momentul actual, exista numeroase aplicatii, dezvoltate atat ca programe independente cat si ca unele componente in cadrul unor pachete de programe mai ample. Dezvoltarea se face in mod permanent si se cauta diverse procedee care sa conduca la programe cat mai performante si cat mai compacte, programe care sa realizeze desene cat mai bune si care sa foloseasca resurse tot mai reduse ale calculatorului, lasand loc in partea activa si in memorie altor aplicatii care sa fie operate simultan.

Dezvoltarea tehnologiei calculatoarelor a permis, la mijlocul anilor ’70, fundamentarea unei noi ramuri a informaticii si matematicii aplicate, numita Computer Aided Geometric Design, sau prescurtat, CAGD, cunoscuta si sub numele de Modelare geometrica care este o geometrie bazata pe calculator.

Modelarea geometrica este un instrument de baza atat in inginerie cat si in stiinta. Primul beneficiar al tehnicilor CAGD a fost industria constructoare de automobile, aviatica, industria producatoare de componente electro-mecanice etc. Elementele geometrice fundamentale pe care se bazeaza modelarea geometrica sunt punctul, curba, panza de suprafata si solidul 3D.

Continutul acestei lucrari este structurat in patru capitole. În primul capitol, intitulat “Preliminarii de analiza, algebra liniara si geometrie”, s-a avut in vedere prezentarea succinta a unor elemente de analiza matematica, de algebra liniara a vectorilor liberi si de geometrie diferentiala clasica a curbelor. În prima parte sunt expuse notiuni generale de derivabilitate si diferentiabilitate utile pentru studiul proprietatilor locale si globale ale suprafetelor. În cazul curbelor, aspectele prezentate se refera la definitia curbelor regulate in plan si spatiu, definitia si proprietatile tangentei, definitia curburii intr-un punct si la formulele lui Frénet.

Al doilea capitol, intitulat “Elemente de teorie a suprafetelor in spatiu”, cuprinde notiuni legate de proprietatile planului tangent si ale vectorului normal unitar, asocierea unui reper de tip Frénet pentru o curba situata pe o suprafata. La finalul acestui capitol sunt prezentate cateva grafice si comenzi mai importante in limbajul Mathematica, un program soft in principal pentru alicatii in matematica, un mediu de programare interactiv care permite rularea programului in timp ce el este scris.

În continuare, in urmatoarele doua capitole s-a trecut la proiectarea algoritmica a suprafetelor. Capitolul trei, intitulat “Suprafete Bézier si B-spline”, contine prezentarea suprafetelor reprezentate de functii polinomiale. S-au studiat, mai intai, probleme de interpolare si aproximare folosite in proiectarea algoritmica a curbelor si suprafetelor, apoi, placile curbe Coons, placile curbe Ferguson, placile curbe Bézier si B-spline, cu referire, bineinteles, si la curbele Bézier si B-spline.

În ultimul capitol, “Suprafete Bézier si B-spline rationale”, sunt prezentate notiuni legate de curbele si suprafetele Bézier rationale, modul de definire si generare a panzelor de cilindru, con si sfera ca panze Bézier rationale si suprafete de rotatie in forma Bézier rationala raportate la spatiul punctual afin euclidian . Ultima parte a acestui capitol contine o prezentare a suprafetelor B-spline rationale sau suprafete NURBS (Non-Uniform Rational B-spline), importanta acestora si suprafetele de rotatie in forma B-spline rationala.

Capitolul 1. Preliminarii de analiza, algebra

liniara si geometrie

În acest capitol vom prezenta mai intai unele proprietati ale functiilor derivabile de o variabila reala, diferentiala unei functii, diferentiala unei functii compuse care vor fi utilizate in celelate capitole, precum si derivate si diferentiale de ordin superior. În prima parte sunt expuse notiuni generale de derivabilitate si diferentiabilitate utile pentru studiul proprietatilor locale si globale ale suprafetelor. Vom rezuma si principalele notiuni legate de spatiile vectoriale, necesare in abordarea geometriei analitice, a spatiilor afine si euclidiene.

În cazul curbelor, aspectele prezentate se refera la definitia curbelor regulate in plan si spatiu, definitia si proprietatile tangentei, definitia curburii intr-un punct si formulele lui Frénet.

I.1. Homeomorfisme

Definitie. Fie X o multime nevida.

I. O aplicatie se numeste distanta sau metrica pe X daca indeplineste urmatoarele conditii:

1.