Pagina documente » Informatica, Matematica » Calculul integralelor in forma compacta

Despre lucrare

lucrare-licenta-calculul-integralelor-in-forma-compacta
Aceasta lucrare poate fi descarcata doar daca ai statut PREMIUM si are scop consultativ. Pentru a descarca aceasta lucrare trebuie sa fii utilizator inregistrat.
lucrare-licenta-calculul-integralelor-in-forma-compacta


Cuprins

Cuprins.
Cuprins1
Capitolul I..............2
Integrarea..2
Capitolul II.............7
Calculul unor integrale.7
Functii pare si impare generalizate..12
Functii simetrice fata de o axa sau de un punct...17
Alte tehnici particulare de schimbare de variabile19
Capitolul III.............22
Integrale improprii cu parametru.....22
Exemple remarcabile de integrale improprii......25
Integrale improprii pe un interval marginit.........32
Capitolul IV..............37
Integrale. Introducere in teoria numerelor analitice..............37
Bibliografie44

EXTRAS DIN DOCUMENT

?{p}

{p}

?

Capitolul I.

Integrarea.

De obicei, credem despre integrala nedefinita ca este mult mai complexa decat determinarea radacinilor unei ecuatii algebrice. De asemenea, este bine de stiut ca solutia unor ecuatii algebrice nu poate fi scrisa in termeni de radicali si ca anumite functii nu poseda integrale elementare. Oricum, datorita profunzimii dovezii acestor fapte, cateva texte merg dincolo de simpla expunere a catorva exemple. Confundand o conditie suficienta cu una necesara si suficienta, foarte multi studenti spun sigur ca ecuatiile de grad mai mic sau egal cu patru pot fi rezolvate.

Cu tot respectul fata de integrare, este bine de stiut ca unele functii nu pot fi integrate (in termeni finiti), dar nu posedam nici o metoda de a vedea care functii sunt integrabile si care nu. Aceasta ultima situatie nu a fost acceptata de Liouville , care obtine un test: de conditie necesara si suficienta pentru integrabilitatea unei clase largi de functii. Noi trebuie sa folosim acest test si sa aratam cum trebuie sa-l aplice un proaspat student si care este utilitatea lui in tehnica de integrare. Baza acestui test este urmatoarea teorema , care este suficient de ”naturala” pentru a fi imediat acceptata si retinuta.

Teorema: (Liouville)

Daca este o functie elementara, unde f, g sunt functii rationale in raport cu x si gradul lui g este mai mare decat zero, atunci:

(I.1) , unde:

R este o functie rationala care depinde de x.

Acesta este un caz special al teoremei originale a lui Liouville, dar este suficient de general pentru scopul nostru.

În aceasta nota , prin functie rationala intelegem ecuatia a doua polinomiale cu coeficientii in orice camp de caracteristica zero (de exemplu numerele complexe).

În termeni de functie elementara este foarte dificil de definit. Totusi, studentul este dispus sa accepte sensul ca “ecuatia algebrica generala de gradul cinci nu poate fi rezolvata in termeni de radicali”, cu toate ca noi stim: “in termeni de radicali” necesita o discutie preliminara. De aceea, nu gaseste nici o dificultate in urmatoarea:

Definitie:

Numim functie elementara orice functie care poate fi construita prin combinatii finite ale functiilor exponentiale, trigonometrice, radicali si inversele lor.

Pe scurt, nu conteaza cat de complicata este functia , daca o putem scrie ca o combinatie de functii exponentiale , trigonometrice , radicali si inversele lor , ea este elementara.

Dar , sa revenim la test. Pentru a vedea daca functia poate fi integrata , revenim la teorema lui Liouville .Derivand ecuatia (1) si anuland , gasim:

. (I.2)

Astfel , este elementara daca si numai daca exista polinoamele P si Q satisfacand ecuatia diferentiala (I.2).

Lema:

Daca f ( x ) = ( x - ? ) r h ( x ) , unde r > 0 , h ( x ) este o functie polinomiala si h ( ? ) ? 0 , atunci f’( x ) = ( x- ? )r-1 k ( x ) , unde

k ( ? ) ? 0.

Putem face lucrurile mai usoare daca definim multiplicitatea .

Definitie:

Numarul ? este numit un zero al functiei polinomiale f ( x ) de multiplicitate r daca:

f ( x ) = ( x - ?)r h ( x ) , unde h ( ? ) ? 0 .

În termeni de multiplicitate , lema se scrie:

Daca ? este un zero al polinomului f ( x ) de multiplicitate r > 0 , atunci ? este un zero al lui f’( x ) de multiplicitate r – 1.

Exemple:

I. Functia . Daca este elementara , atunci sau . Punand unde P si Q sunt polinoame relativ prime si Q ? 0 , gasim:

Q2 = QP’-PQ’-2xPQ (I.3)

care este ecuatia (I.2) . Dand factor comun pe Q , obtinem:

. (I.4)

Presupunem ca gradul lui Q este pozitiv . Atunci Q = 0 are o radacina ;

sa consideram pe ? o astfel de radacina si s-o numim de multiplicitate r

( r > 0 ) . Avem P si Q relativ prime ; P ( ? ) ? 0 . Acum , ? este un zero pentru partea stanga a lui (I.4) de multiplicitate mai mare decat r si pentru partea dreapta de multiplicitate r – 1 . Aceasta este o contradictie. Rezulta ca presupunerea facuta de noi este falsa . Q este o constanta ( Q ? 0 ) , putand-o presupune unitatea . Din (I.4) obtinem:

. (I.5)

Atata timp cat P este polinomiala de variabila x, este clar ca gradul lui –2xP este mai mare decat gradul lui P/ si gradul lui –2xP >0.

Gradul partii stangi din (I.5) este totdeauna mai mare decat gradul partii drepte , ceea ce este o contradictie; rezulta ca nu exista P care sa satisfaca (I.5). Deci nu exista o functie rationala care sa satisfaca relatia (I.3) .

Prin urmare: nu este elementara .

II. Functia , cu b ? 0 ( constant ) . Integrala sau . Punand , unde P si Q sunt polinoame relativ prime ,

Q ? 0 , gasim:

Oferta anului

Reducere 2020