Cuprins

Aceasta lucrare poate fi descarcata doar daca ai statut PREMIUM si are scop consultativ. Pentru a descarca aceasta lucrare trebuie sa fii utilizator inregistrat.

Extras din document

CUPRINS
Introducere ...pag
Capitolul 1
Integrarea asimptotica a ecuatiilor diferentiale cu
dichotomii ..........pag
1.1. Rezultate auxiliare .........pag
1.2. Integrarea asimptotica a oscilatorului adiabatic ......pag
Capitolul 2
2. Familii de solutii nerestrictionate ale ecuatiilor cu
variabile aproape separabile ..pag
2.1. O ecuatie de gradul intii si proprietatile sale ..........pag
2.2. Ecuatii diferentiale cu dichotomii

Alte date

?

Introducere

Integrarea asimptotica a ecuatiilor diferentiale ordinare este in zilele noastre o parte fundamentala a matematicii aplicate. Lucrari de matematica precum [1], [5], [8] ori mecanica cereasca [4], [9] sunt relevante in ceea ce priveste utilitatea si eficienta metodelor de integrare asimptotica a ecuatiilor si sistemelor de ecuatii diferentiale ordinare care modeleaza probleme importante ale stiintelor naturii.

Problema dichotomiilor in integrarea asimptotica a fost investigata de numerosi autori iar metodele de lucru apeleaza la discipline diverse. Citam articolele [10] - [14]. Rezultate generale de integrare asimptotica, ingloband cazul ecuatiilor diferentiale cu dichotomii, pot fi citite in [6], [7], [15] (teoria Hartman-Wintner), [16] (teoria Massera-Schäffer), [5] (teoria Levinson-Weyl si dezvoltari ale sale, cu accent pe problematica defectologiei), [8] (metode Kiguradze-Kvinikadze privind ecuatiile Emden-Fowler, proprietati S, etc).

Lucrarea de fata se refera la teoriile dezvoltate in [6], [15] precum si la o anumita continuare a lor in [1], [2]. Ea este impartita in doua capitole, dedicate abordarii lui Aurel Wintner [15] a integrarii asimptotice in cazul “hiperbolic” (Capitolul 1), respectiv teoriei lui Philip Hartman [6] (Capitolul 2).

1. Integrarea asimptotica a oscilatorului adiabatic in domeniul hiperbolic

1.1. Rezultate auxiliare

Fie f=f(t) o functie continua cu valori reale definita pe semiaxa reala nenegativa astfel incat f(?) sa existe (ca limita finita). Suntem interesati de integrarea asimptotica a ecuatiei diferentiale liniare

(1) x’’+ f(t)x = 0

in cazul “hiperbolic”, f(?) < 0 ; facand, eventual, o schimbare de variabila, putem considera ca f(?) = -1. Astfel, ecuatia (1) poate fi scrisa sub forma

(2) x’’ – (1+?)x = 0,

unde

(3) ?(t) ? 0 (t ? +?).

Lema 1. Daca p(t), q(t), unde , sunt doua functii continue ce satisfac ipotezele

(4) p(t) are semn constant nenul

si

(5) ,

unde

(6) q(t) ? 0,

atunci exista o limita finita, y(?), pentru fiecare solutie y=y(t) a ecuatiei diferetiale liniare

(7) (p(t)y’)’ + q(t)y = 0 ,

marimea y(?) fiind nenula pentru cel putin o solutie y = y(t) a ecuatiei (7).

Demontratie. Mai intai, daca y(t), unde 0 t <+ ?, este o solutie a lui (7), atunci pentru orice T >0 exista constantele C1 si C2 astfel ca

(8)