Cuprins

Aceasta lucrare poate fi descarcata doar daca ai statut PREMIUM si are scop consultativ. Pentru a descarca aceasta lucrare trebuie sa fii utilizator inregistrat.

Extras din document

Cuprins
Introducere
pag.5
i1. Conice
pag.6
i1.1. Cercul cu centrul in originea axelor de coordonate
pag.6
i1.2. Elipsa
pag.7
i1.3. Hiperbola
pag.9
i1.4. Parabola
pag.10
i1.5. Reducerea ecuatiei unei conice la forma canonica
pag.11
i2. Definitia unei cuadrice. Ecuatiile reduse ale cuadricelor
pag.17
i3. Sectiuni plane paralele cu planele de coordonate
pag.22
i3.1. Sectiunile elipsoidului prin planele de simetrie si prin planele paralele cu planele de simetrie
pag.22
i3.2. Sectiunile hiperboloidului cu o panza prin planele de simetrie si prin planele paralele cu planele de simetrie
pag.25
i3.3. Sectiunile paraboloidului eliptic prin planele de simetrie, prin planele paralele cu planele de simetrie si prin plane perpendiculare pe axa de simetrie
pag.27
i4. Reducerea la forma canonica a unei sectiuni plane a unei cuadrice
pag.35
i4.1. Invariantii unei sectiuni plane intr-o cuadrica
pag.35
i4.2. Reducerea la forma canonica a sectiunii plane si pozitia sectiunii in spatiu
pag.38
i4.3. Sectiuni plane sub forma unor reuniuni de drepte
pag.53
4.3.1. Sectiunile plane sub forma unor reuniuni de drepte ale hiperboloidului cu o panza

pag.54
4.3.2. Sectiunile plane sub forma unor reuniuni de drepte ale conului eliptic
pag.58
4.3.3. Sectiunile plane sub forma unor reuniuni de drepte ale paraboloidului hiperbolic
pag.63
4.3.4. Sectiunile plane sub forma unor reuniuni de drepte ale cilindrului eliptic
pag.66
i4.4. Sectiuni plane circulare
pag.70
4.4.1. Sectiunile plane circulare ale elipsoidului
pag.70
4.4.2. Sectiunile plane circulare ale paraboloidului eliptic
pag.74
4.4.3. Sectiunile plane circulare ale hiperboloidului cu o panza
pag.75
4.4.4. Sectiunile plane circulare ale hiperboloidului cu doua panze
pag.77
4.4.5. Sectiunile plane circulare ale conului eliptic
pag.77
i4.5. Aplicatii
pag.80
4.5.1. Segmentul cilindric
pag.80
4.5.2. Bazinul cilindric
pag.84
Concluzie
pag.86
Bibliografie
pag.87

Alte date

?Introducere

Lucrarea de fata trateaza sectiunile ce le formeaza cuadricele (elipsoidul, hiperboloidul, paraboloidul, conul, cilindrul) cu plane in diverse pozitii fata de axele de coordonate.

Primul capitol “Conice” studiaza suprafetele rezultate in urma intersectarii unei cuadrice cu un plan. In acest capitol se gasesc date teoretice cu privire la cerc, elipsa, hiperbola si parabola, precum si reducerea ecuatiei unei conice la forma canonica.

Cel de-al doilea capitol prezinta pe scurt cuadricele cunoscute si ecuatiile reduse ale acestora, precum si invariantii lor.

Urmatorul capitol se ocupa de sectiunile principale ale tuturor cuadricelor, adica sectiunile prin planele de coordonate si sectiunile prin plane paralele cu planele coordonate. Aceasta problema este discutata pentru urmatoarele cuadrice : elipsoid, hiperboloid cu o panza si pentru paraboloidul eliptic.

Cel de-al patrule capitol este cel mai vast si abunda in contributii personale. Partea teoretica a acestui capitol cuprinde atat reducerea la forma canonica a unei sectiuni plane si determinarea pozitiei ei in spatiu cat si prezentarea invariantilor acestei sectiuni. In aceasta parte a lucrarii mele studiez sectiunile plane sub forma unor reuniuni de drepte la hiperboloidul cu o panza, conul eliptic, paraboloidul hiperbolic si la cilindrul eliptic, si pozitia sectiunilor plane circulare in elipsoid, paraboloidul eliptic, hiperboloidul cu o panza, hiperboloidul cu doua panze si in conul eliptic.

Exista in lucrarea mea doua aplicatii mai speciale ale sectiunilor prin cuadrice si mai multe exemple numerice ale teoriei prezentate.

§1. Conice

Notam cu spatiul punctual bidimensional al geometriei elementare si cu multimea tuturor vectorilor liberi din acest spatiu. Evident, multimile si sunt in corespondenta biunivoca, aceasta fiind unic determinata prin fixarea originii in spatiul .

Apoi, daca consideram in spatiul vectorial o baza ortonormata , atunci ansamblul va forma un reper cartezian in spatiul punctual . Acestui reper i se poate asocia un sistem de axe de coordonate cartezian care se noteaza simplu prin . Fiecarui punct i se poate asocia in mod unic o pereche ordonata de numere reale care reprezinta coordonatele euclidiene ale vectorului in baza . Numerele reale se numesc coordonate carteziene ale punctului si ele determina complet pozitia punctului .

Voi studia anumite multimi speciale de puncte din numite conice care din punct de vedere geometric reprezinta anumite curbe in plan.

§1.1. Cercul cu centrul in originea axelor de coordonate

Este locul geometric al punctelor din care au distanta la originea axelor de coordonate constanta.

Prin urmare, conditia necesara si suficienta pentru ca punctul din sa apartina locului geometric mentionat este ca vectorul sa aiba o lungime constanta, adica

, unde .

Aceasta conditie poate fi scrisa analitic astfel

, adica ,

aceasta ultima egalitate reprezentand ecuatia implicita a cercului cu centrul in originea axelor de coordonate.

Graficul acestei curbe este reprezentat in fig. 1.

fig. 1

Daca cercul are centrul in punctul din, atunci ecuatia sa implicita este .

§1.2. Elipsa

Este locul geometric al punctelor din care poseda proprietatea ca suma distantelor la doua puncte fixe si din numite focare, este constanta.

Pentru a obtine ecuatia elipsei alegem sistemul de axe de coordonate astfel incat axa sa treaca prin punctele si , iar axa sa fie perpendiculara pe mijlocul segmentului , asa cum se vede in fig. 2.

fig. 2

Daca , atunci coordonatele carteziene ale focarelor si sunt si .

Conditia necesara si suficienta pentru ca punctul sa descrie elipsa este :

, unde .

Aceasta conditie se scrie analitic astfel :

,

adica

.

Dupa efectuarea calculelor si eliminarea radicalului ramas se obtine ecuatia

, unde .

Graficul elipsei este reprezentat in fig. 2.

Observam ca pentru elipsa coincide cu cercul avand centrul in originea axelor de coordonate si raza .

§1.3. Hiperbola