Cuprins

Aceasta lucrare poate fi descarcata doar daca ai statut PREMIUM si are scop consultativ. Pentru a descarca aceasta lucrare trebuie sa fii utilizator inregistrat.

Extras din document

C U P R I N S
Prefata4
1. Stabilitatea liapununov ca stabilitate in raport cu conditiile initiale. Marginire, atractivitate si stabilitate asimptotica, stabilitate exponentiala..........5
2. Stabilitatea sistemelor liniare.............10
Criterii de stabilitate...........15
Criteriul Nyquist...22
Stabilitatea limita..............25
Un rezultat de asimptoticitate pentru sistemele liniare.27
3. Stabilitatea dupa prima aproximatie......31
O aplicatie a stabilitatii dupa prima aproximatie......32
4. Metoda functiei Liapunov...36
Semn definit si semn constant. Functii de comparatie.36
Teoreme de stabilitate.......38
Teoreme de stabilitate asimtotica si stabilitate asimtotica Globala.............40
Teoreme de instabilitate.......41
Functia Liapunov la sistemele liniare...43
Un rezultat privind stabilitatea exponentiala..........47
Aplicatii ale teoremei de stabilitate asimptotica a lui A.M.Liapunov...........50
Stabilitatea unui sistem mecanic supus fortelor disipative si giroscopice.........54
5. Principiul de invarianta Barbasin-Krasovski-La Salle si stabilitatea asimptotica.........55
Aplicatii ale principiului invariantei.....59
Stabilitatea sistemelor cu pozitie neunica de echilibru. Dihotomie si asimptotica globala...........60
6. Problema stabilitatii absolute. Conditii frecventiale pentru existenta unor functii Liapunov (Rezultate Iakubovici-Kalman-Popov)62
Metoda functiei Liapunov...63
Metoda frecventiala..........65
Restrictii tip forma patratica. Asocierea indicelui integral.........68
Sisteme pozitive70
Sisteme pozitive complet controlabile......72
Sisteme pozitive incomplet controlabile....79
Bibliografie........86

Alte date

?

p r e f a t a

In aproape un secol de existenta teoria stabilitatii in sens Liapunov a cunoscut o dezvoltare atat extentiva cat si intensiva, imbogatindu-si conceptele si metodele, largindu-si continuu domeniul de aplicatie. Se poate afirma pe drept cuvant ca aparitia si dezvoltarea acestei teorii a corespuns cerintelor stiintelor naturii si tehnicii. In prezent aplicatiile sale acopera domenii atat de diverse cum sunt: mecanica teoretica sau tehnica (inclusiv constructia de masini), electrotehnica si electronica, electro-, termo- si hidroenergetica, reglajul automat, stiintele fizico-chimice, biologia teoretica.

Corespunzator s-a dezvoltat o teorie cuprinzatoare, cu o mare varietate de concepte si notiuni, ale carei metode include tehnici de mare rafinament ce necesita multa abilitate in aplicare.

Aceste aspecte, impreuna cu existenta a zeci de monografii si manuale aparute pe plan mondial si dedicate tematicii stabilitatii, fac imposibile si, intr-un anume sens, chiar inutile, eforturile de elaborare a unei lucrari atotcuprinzatoare despre teoria, metodele si aplicatiile stabilitatii.

Termenul de stabilitate este atat de expansiv incat vorbeste prin el insusi. Adjectivul “stabil” provine din termenul latin stabilis care inseamna “tare”, “nemiscat”, “statornic”, “trainic”. Notiunea pare limpede si se foloseste curent in viata cotidiana, de aceea poate surprinde idea ca exista motive care necesita prezicerea sau complicarea unui lucru atat de evident.

In limbaj uzual, prin stabilitatea oricarui fenomen se intelege capaciatatea sa de a-si pastra un timp destul de indelungat si cu precizie suficienta acele forme de existenta la pierderea carora fenomenul inceteaza de a mai fi el insusi. Dar, atat colocvial cat si in terminologia stiintifica, stabil nu este numit fenomenul ci sistemul in care este el observat, desi acest lucru nu se justifica intotdeauna. De exemplu, sunt stabile corpurile fizice: sfera sau cubul? Intrebarea nu are sens daca ne referim la material: sfera metalica e stabila, sfera de fum nu.

Teoria stabilitatii nu este interesata de o astfel de stabilitate a sistemului insusi – adica a constructiei – ci de stabilitatea starilor si functionarii. Dupa o definitie clasica (I.G.Malkin, 1952) teoria stabilitatii se ocupa cu studiul influentei factorilor perturbatori asupra miscarii (evolutiei) unui sistem material.

1. Stabilitatea Liapununov ca stabilitate in raport cu conditiile initiale.

Marginire, atractivitate si stabilitate asimptotica, stabilitate exponentiala.

Sa consideram un sistem descris de ecuatiile diferentiale

x = f(t, x), (1.1)

unde x si f sunt vectori n-dimensionali, iar t este variabila independenta scalara – de obicei variabila temporala. Fie (t) o solutie a sistemului definita pt t ? t0 pe care o consideram miscarea de baza – neperturbata – a sistemului.

Definitia 1: Solutia (t) a sistemului (1.1) se numeste stabila in sens Liapunov daca pentru orice ? > 0 exista ?(?, t0) astfel incat daca?x0 – x(t0)? t0

Daca, in plus, ? nu depinde de momentul initial t0, atnci stabilitatea se numeste uniforma.

Sa observam ca definitia de mai sus raspunde cerinrelor ce se desprind in mod natural din analiza diverselor probleme stiintifico-tehnice de stabilitate. In cadrul acestor probleme efectul perturbatiilor si manevrelor era inclus in conditiile initiale, ajunganduse la ideea ca stabilitate inseamna abateri mici ale miscarilor perturbate de la miscarea de baza, in conditiile in care abaterile initiale sunt suficient de mici.

Este cunoscut faptul ca in mecanica echilibrul este considerat un caz particular al miscarii. Din punctul de vedere al ecuatiilor diferentiale echilibrul este reprezentat de solutiile constante ale sistemului (1.1), care sunt solutiile constante ale sistemului:

f(t, x) = 0 (1.2)

Daca =constant este un punct de echilibru al sistemului (1.1) el este stabil Liapunov daca pentru orice ? > 0 exista ?(?, t0) > 0 astfel incat din?x0 – ?< ? sa rezulte?x(t; t0,x0) – ?< ?. Aici, ca si peste tot, x(t; t0, x0) este acea solutie a lui (1.1) care la momentul initial t0 are valoarea x0 : x(t0; t0, x0) = x0.

Remarcam un lucru extrem de important: fie ca este vorba de echilibru,fi de o miscare, conceptul de stabilitate Liapunov se refera la o solutie anume – solutia de baza. In vorbirea curenta se obisnuieste folosirea termanului “sistem stabil”.Corect este insa sa se vorbeasca despre “solutii stabile” deoarece teoria pe acestea le ia in considerare la definirea conceptului de stabilitate.

In teoria stabilitatii se folosesc de regula nu ecuatiile miscarii, ci asa-numitele ecuatii ale miscarii perturbate (denumirea aceasta ii apartine lui A.M.Liapunov): pornind de la faptul ca miscarea de baza este de regula cunoscuta, prin schimbarea de variabila y = x – (t) se poate reduce orice problema de stabilitate la problema stabilitatii solutiei identic nule – echilibrul din origine. Intr-adevar,

.

Deoarece (t) este o functie cunoscuta, de timp, putem nota

F(t, y) = f(t, y+(t)) – f(t, (t))

obtinand sistemul

y =F (t, y). (1.1’)

Se vede ca F(t, 0) = f(t, (t)) – f(t, (t)) ? 0, deci, intr-adevar, originea este un punct de echilibru al sistemului (1.1’). Definitia stabilitatii se reformuleaza astfel:

Definitia 2: Solutia banala y ? 0 a sistemului (1.1’) se numeste stabila in sens Liapunov daca pentru orice ? > 0 exista ?(?, t0) > 0 astfel incat daca |y0| < ?, atunci |y(t; t0, y0)| < ? pentru t > t0.

La nivelul extrem de general la care sunt formulate definitiile de mai sus – se iau in considerare nu sisteme ci solutii – intre (1.1) si (1.1’) nu exista nici o diferenta de principiu, de aceea trecerea la ecuatiile miscarii perturbate este principial posibila in orice situatie. Atunci cind se au in vedere probleme concrete lucrurile nu mai stau asa.